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如何培养学生的数学思维
如何培养学生的数学思维1
发散思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面寻求答案的思维方式。这种思维方式，不受现代知识的局限，不受传统知识的束缚，与创造力有着直接联系，是创造性思维的核心。培养发散思维能力是培养创造力的重要环节。
在数学教学中，我采取以下几种方式培养学生的发散思维。
一、发散性提问
思维是从问题开始的。发散性提问可以直接激励学生进行积极的思维活动。这种提问追求的目标不是单一的答案，而是尽可能多、尽可能新的独创的想法，因而对于培养学生的创造性思维，具有更直接、更现实的意义。
如：用语言叙述算式26×(123÷3)。可以这样提问："你能用几种不同的方式叙述这个算式？"这时，全班同学纷纷举手要求发言。"26乘123除以3的商，积是多少？"、"26与123除以3的商的积是多少？"、"26乘3除123的商，积是多少？"、"123除以3的商乘26的积是多少？"……同学们想出了许多种不同的叙述方式，显示出思维非常活跃。
二、一题多解
一题多解之所以有助于发散思维的培养，主要是因为它要求学生的`思维活动要"多向"，不局限于单一角度，不受一种思路的束缚，为了寻求问题的解决，它要求寻找多样化的解决方式，谋求多种可能。在这种情况下，学生往往会独辟蹊径，发现解决问题的新途径。
如："有货物72吨，先用3辆同样的汽车一次运走18吨。照这样计算，剩下的货物一次运完，需要这样的汽车多少辆？"学生们先用学过的知识，想出了(72-18)÷(18÷3)和72÷(18÷3)-3两种解法。这时我引导学生从倍数关系方面想出不同的解法。同学们在我的启发下，又想出了3×[(72-18)÷18]、3×(72÷18-1)和3×(72÷18)-3等3种解法。这时全班学生都欢呼雀跃起来，对想出不同解法的同学表示祝贺。一题多解不仅培养了学生的发散思维能力，也极大地激发了学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣。
三、延迟评价
延迟评价可以给学生创设一种畅所欲言、互相启发的氛围，使学生在有限的时间内提出尽可能多的创造性设想，因而有助于培养学生的发散思维能力。例如有这样一道题："1台榨油机每小时可以榨油150千克，5台同样的榨油机12小时一共可以榨油多少千克？"同学们先想出了两种解法：150×5×12和150×12×5。这时又有同学想出第三种解法：150×(5×12)，而有的同学立即反对说："5×12没有意义。"这个学生的意见对不对？教师没有立即表态，而是让这位同学说出自己的思路："先求出按每台榨油机各工作1小时计算共需多少台榨油机，再求出共榨油多少千克。"同学们听后都感到有道理。于是又有一位同学受启发想出了另一种解法：150×(12×5)。这样大家一共讨论出4种解法。学生寻求答案，特别是新颖独特的答案，要有个思维的过程。这个过程，像机器启动一样，是慢慢展开的。在学生思维启动的过程中，别人的、特别是教师的过早评价，往往会成为思维展开的抑制因素。正因为如此，我们在课堂上应当表现出极大的耐心，给学生充分的时间，让他们驰骋联想、各抒己见。在这种情况下，学生们会有一种"安全感"、"自由感"，从而无拘束、无顾虑地针对问题展开积极的思维活动和语言活动，起到相互启发的作用。
如何培养学生的数学思维2
教学活动是教师与学生的双边活动，数学教学过程不仅是一个认知过程，而且也是一个情感的交流过程．在教学活动中要注意符合初中学生的年龄特征和认知规律，善于激发学生学习数学的情感．由于初中学生年龄特点，既有小学生活泼好动、充满好奇的特点，也有渴望走向成熟的特征，因此要善于抓住积极因素，鼓励学生大胆猜想、联想、设疑、探索，使学生的整个学习活动充满喜悦，学习的需要得以实现．在整个教学过程中，应始终体现“学生为主体、教师为主导”的教学原则，给学生以充分自主的权力，创设一个良好和谐的教学氛围．
一、培养创造性思维能力的途径
（1）引导学生大胆猜想，发展创造思维能力。著名的数学家高斯说：“没有大胆的猜想，就谈不上科学的发现。”数学猜想是数学发展的动力，科学发现的先导，是创造思维的重要组成部分，是现代数学的必然要求。传统的数学教学重结果，轻过程，极大地妨碍了学生思维能力的培养。
（2）引导学生善于联想，培养创造思维能力。联想是在头脑中从一事物想到另一事物的心理活动。它在认识上客观反映着事物联系的规律,是创造性解决数学问题必不可少的因素。一个数学问题的解决,是一个复杂的思维过程,在解决问题的过程中,要建立起由已知到未知,由条件到结论的联想。所以在数学教学中,要使学生在所学知识内尽快的建立起联想，要经常有意识的'引导学生在数学问题面前，进行广泛的联想，联想与原题有关的概念、公式、定理等；联想已知的或已解过的类似问题和有关问题；联想已知的或已用过的类似的解题方法，从而摆脱困境，通过比较，找到快捷可行、方法新颖的解法。
然而，在现实中大部分学生在做练习或写作业时,想问题往往是孤立的,单一的，一道习题做完后,一般不去探索有无其它便捷的解法,也不去考虑有没有其它的变化,这种现象正反映出在当今教学中学生的联想能力的培养是十分欠缺的。联想能力的培养可通过“一题多解”和“多题一解”等方法训练。
（3)引导学生敢于质疑，促进创造思维能力。所谓数学质疑，就是指学生在数学学习中，不唯上，不唯书，不唯师，只唯实。敢于对权威的观点提出异议，发表不同的见解，说出自己的理由。质疑也是一种数学创造，是促进数学思维发展的强大动力。在数学教学过程中，教会引导学生进行数学质疑，更要善待学生的质疑。对于学生的质疑，教师应予以鼓励和引导。通过鼓励，使学生从不敢提问到敢于提问；通过引导，使学生逐步做到善于提问。在这个过程中，引导学生学会创造性思维的方法，促进学生积极、主动地学习。
（4）引导学生勇于探索，提高学生创造思维能力。探索是创造的前提，勇于探索的精神是学生素质培养的重要组成部分。布鲁纳指出：“探索是教学的生命线”。勇于探索的精神和能力是数学创造思维能力的前提与基础。“好奇”是青少年的心理特征，思维是从问题开始的，而“好奇”则是保持问题的探研意识的磁石，这也是创造思维活动的重要开端，在教学的过程中，教师应不断提出新问题，来诱发学生的好奇心理，激发他们积极思考，勇于探索，不断创新。
二、在教学过程中培养学生的创造思维能力
（1）注意培养观察力。观察是信息输入的通道，是思维探索的大门。敏锐的观察力是创造性思维的进步器。可以说，没有观察就没有发现，更不能有创造。首先在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。其次，要在观察中及时指导。比如要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，要指导学生及时地对观察的结果进行分析总结等，要科学的运用直观教具及现代教育技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入的观察。数学教学活动中的观察，就是有意识地对事物的数和形的特点进行感知活动，即对符号、字母、数字或文字所表示的数学关系式、命题、几何图形的结构特点进行的察看。
（2）注意培养想象力。想象力是创造性思维腾飞的翅膀，是新观念的设计师，是通向创造性综合的阶梯，是思想实验室内构造的专家，是对未来前景的预测者。爱因斯坦说：“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象是可以包罗整个宇宙,想象力概括着世界上的一切，推动着进步，而且是知识进化的源泉。”在教学中，引导学生进行想象，往往能缩短解决问题的时间，获得发现的机会，锻炼数学创造思维。
想象不同于胡思乱想，它往往是一种知识飞跃性的联结，因此要有扎实的基础知识和丰富的经验的支持。要有能迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力，要有执着追求的情感。因此，在教学中应该根据教材的潜在的因素，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象。
（3）注意培养发散思维。发散思维是一种不依赖常规，寻求变异，从多方面寻求答案的思维方式，加强发散思维的训练是培养学生创造思维能力的中心环节是创造性思维的主导成分。中学生由于自我意识的发展，他们在获取前人总结的经验的同时也经常有自己新的看法，或试图进一步去发展前人的成果，并以此作为自己成熟的体现，这种勇于探索知识的心理为发散思维的训练创造了条件。因此,在中学数学教学中,应采用各种方式对学生进行发散性思维能力的培养。比如,教师在讲课时对同一问题可用不同的方法进行多方位讲解或给出不同的答案。在对知识总结时,可以从不同角度进行总结概括。
（4）注意诱发学生的灵感。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕是只有一点点的新意，都应及时给予肯定。同时，还应当多应用数形结合、变换角度、类比等方法去诱发学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。
培养学生创造性思维的方法和途径很多很多，以上只是针对当今教育现象以及根据了解周围学校的教与学的情况提及的其中的几个方面。教师的教是为了学生的学，只有用教师创造性的教来唤起学生创造性的学，用教师创造性的思维方法锻炼学生创造性思维的品质，用教师对创新教育的满腔热情去点燃学生创造性思维的火花，我们的学生才会有创造意识，才会有创造奇迹的涌现。正是具备了足够的创造性思维能力，人类才产生了永不停息的创造活动，从而推动着历史进步。
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作为数学教师，我们常困惑于学生“学习方法死”，学习时间长效果差，只会仿照例题解几道题，在遇到新问题时，就束手无策。其实，学生中存在的这种现象，与我们的教学方法密不可分，我们都很重视传授知识的正确性、全面性，重视让学生熟记定义、定理、公式，却很少探讨它们的由来和实质，我们认真严格地对每一个定理加以证明，对每个公式加以推导，却忽略证明和推导的思维过程。造成了我们教学中的众多缺陷，使得我们的学生只知模仿，而缺乏独立分析问题的能力。因此，作为教师的我们，就必须随时注重培养学生科学的思维能力，提高他们的思维素质。
以下是我在教学中的几点体会，以中学数学中常用的几种数学思想和方法为例，进行一些探讨。
一、注重“转化”思维的训练“
转化”是数学研究中常用的一种方法。我们知道，数学知识间联系极为密切，许多新问题经过转化都可归结为我们已经了解的问题去解决。有些很难解决的问题通过转化就能归为一个较容易研究的问题。那么，我们首先就要注意培养学生的“转化”思想。具备这种思维能力，对于解决新问题是大有益处的。例如：解方程组问题，当学生学会一元一次方程的解法后，解二元一次方程组时解题的基本思路就是通过消元（或代入消元或加减消元），将其转化为一元一次方程的求解。学生掌握了这种思维方法，当学习三元一次方程组的解法时，就很容易想到将其转化为二元一次方程组，再将其转化为一元一次方程去求解。以后学习分式方程、无理方程等时，学生就不会感到陌生，因为，虽然问题变了，但万变不离其宗，都是把它们转化为已经研究过的方程或方程组去求。有了这样清晰的思路，在解题时，就不会把这些问题孤立起来对待，找不到解题方法。在数学研究中处处体现着转化的思想。如果我们有意识的培养学生的这种思维能力，不仅能让学生把所学知识有机的联系在一起，而且在遇到新问题时，还会表现出较高的创造性思维能力。
二、使学生的思维活动展开，培养直觉思维能力
如何在数学教学中培养直觉思维能力呢？1.注意数形结合，建立智力图象。数量关系借助于图形的性质可以直观化、形象化、简单化。因此，要有目的地帮助学生将抽象的概念与几何图形联系起来考虑，充分揭示概念和数量关系的几何背景，为发展直觉思维创造条件。2.培养观察、猜想、验证能力。有些数学问题的结论需要根据已知条件，通过观察，分析题目最简单、最特殊的'情况，从中猜想出问题的一般性结论，进而发现解决问题的途径和方法，这是一项有意义的直觉思维训练。3.训练思维方法，发展直观。直觉思维的具体过程往往是不清楚的，但是，将这减缩的过程慢镜头展示，会发现联想、类比、想象等思维方法的痕迹。
三、通过课堂教学设计，训练学生思维能力
我们在传授知识的同时，更重要的是教会学生如何“学”，也就是使学生在掌握知识的思维实践中训练思维。学生往往认为学习定义、定理、公式，只要记住就行了，对定理的证明，公式的推导，很少能给以足够的重视。如果，我们能在这些基础理论的教学中渗透思维训练，那么学生不但能对基础知识理解的更深入，而且学会了解题的思维方法。如在初中几何中，证明等腰三角形两底角相等。我在教学时，引导学生要证两角相等，可利用什么方法？
构造全等三角形，从而引出三种作辅助线的方法。教材中给出定理的一种证明方法，教材为什么这么证？还有其它证法吗？在研究每一个定理的证明时，我都引导学生讨论这个问题，使学生认识到书上为什么采用这种证明方法，而且还能找到其它证法。通过这种教学，学生独立思考和创新精神可以得以发扬。
四、在归纳总结中训练思维能力
我国古代的学者韩愈就提倡要先把书读厚再把书读神实质。如果学生能把学过的每一部分知识进行总结，而且能归纳出解决某类问题的方法，那么他们的知识水平就提高了，运用这部分知识去解决问题的能力也提高了。我们教师应当及时地引导学生进行此项工作。例如：初中几何证明题中会经常遇到证线段相等和角相等的问题，在学生学过了全等三角形后，我们可以归纳出通过三角形全等可证明以上问题，进而回忆总结三角形全等的几种证明方法，在学过等腰三角形性质后，我们还可利用性质定理：即等边对等角的方法来证明。原来书上的定义、定理是按知识顺序排列的，经过这种需要重新复习总结的过程，学生对于运用这些定义定理去解决问题的能力就提高了，对于这些问题的实质就更清楚了，不再苦于找不到解题方法。今天进行这种能力的培养，对他们将来的学习也会受益。
五、克服解题教学倾向，启迪创新思维我们所说的创新思维指在解决问题时，具有主动性和独特。
中学数学新大纲已将创新意识和创新思维能力的培养引入教学目的之中。所以，在教学实践中应注重培养学生的创新思维能力。首先，应培养学生学习兴趣，强化应用意识，激发学生的创新欲望。其次，在解题时，引导学生打破思维定势，变换思维角度，从不同角度去探究，拓展广阔的思维空间。在注重题型归类的同时，注意设法营造发散点，提高创新思维能力。另外，在解决问题之后，进一步对题目特征、解题思路、途径、方法、结论作反思，从解题规律、解题设计、适用范围、推广变式等多个方面进一步暴露数学解题的思维过程，把学生从题海中解放出来，做到举一反三，触类旁通，从而达到训练思维的目的。
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一、注意培养学生的比较能力
六年级数学中有许多联系密切，但容易混淆的概念。如何使学生找出它们之间的区别和联系，从而形成正确的概念呢？我通常的做法是，利用教材，借助比较的方法提高学生的辨析能力。
例如：在进行分数乘除法应用题教学时，为了使学生对分数乘除法应用题的结构，解法与解题思路的异同有清楚的了解，我抓住两点进行教学，一是比较的`标准--弄清两数相比时，以哪个为标准；二是比较的结果--弄清不同的比较形式所得出的比较结果的含意。同样，在教学中借助线段图分析应用题的数量关系时，要求学生先画作为标准的线段，再画表示与这个标准相比的线段。
有这样一道题：
（1）两捆电线：一捆长120米，比另一捆短三分之一，另一捆电线长多少米？
（2）有两捆电线，一捆长120米，另一捆比它短1／3，另一捆长多少米？
在教学时，我先引导学生比较这两小题的不同点，再比较相同点。
通过比较，学生明白，第（1）题是第一捆长度与另一捆比，另一捆长度作标准，第（2）题是另一捆长度与第一捆长比。第一捆长度作标准，虽然比值相同，但由于比较的标准不同，比较所得的结果的含义也就不同。因此这两小题的数量关系式不同，解题方法也就不同。在列出分数乘除法算式后，我再次引导学生对这两个算式进行比较，加深了学生对三个数量之间的关系的理解。进一步弄清了分数乘除法应用题之间的联系和区别。
二、注意培养学生的分析、综合的能力。
分析与综合是思维的基本过程，也是重要的逻辑思维方法。根据六年级学生的特点，在进行应用题教学时，我通常做法是引导学生从借助线段图进行分析，综合到根据所给的条件和问题进行分析、综合，重视概念教学，计算教学和几何初步知识教学中培养学生的分析、综合能力。
例如，在学习长方体、正方体后，我出示这样一道题：“一个棱长8厘米的正方体木块，?表面全部涂上红颜色，然后把它分成棱长是2厘米的小正方体若干块，其中三面有红颜色，二面有红颜色，一面有红颜色，没有红颜色的各有多少块？”初看这道题，似乎不大好下手，我没有急于让学生求成。而是先让学生说出正方体的特征，?然后让学生探讨把大正方体分成棱长2厘米的小正方体若干块怎样分割？在取得一致结论后，接着让他们思考：分成的小正方体共有多少块？
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通常而言，小学生思维活动的重点为形象思维，是学生想象力的显现。小学数学教学主要任务之一即为培养学生的形象思维能力。在教学当中促使学生进行合理的想象，提升学生的形象思维能力，是所有教育工作者都应该进行分析与研究的重要课题。
一、充分运用直观教具
形象思维的基本形式为想象与表象，表象即是对于以往认知和感觉过的现象，在头脑中形成想象的影像，可借助直观鲜明的形象展示现实，同时也有部分的归纳性。如果不具备表象，也就无法进行形象思维。数学知识具有抽象性，教师在进行教学时，应尽量将抽象性的数学知识变得实物化，使学生能够直观形象地进行认知，能够进行实物感触、进行实际操作，在头脑中形成的想象的影像，能够促进学生主动学习。因此，教师应立足于学生的现实生活，应用各种直观形象的教具与图片、实践操作等方式，让学生取得客观全面、丰富多彩的表象，提升学生形象思维能力。例如，教学《圆的认识》课时，可由教师预先展示出在现实生活当中的圆形的实物，例如，地球仪、篮球、足球、瓶盖等，并让学生列出在生活当中的圆形的实物如水杯盖、碗、乒乓球、高尔夫球，借助真实感知生活当中的'实物，让学生对于圆形的物体具有直观形象的认知。立足初步认知，再由教师指导学生认真细致地观察圆形的教学模型，并对照课本，圆作为椭圆的一种特殊的形式，当椭圆自身的离心率与0相等时，就会使得两个焦点形成重合，形成了一个圆形。并在教学模型上找出两个焦点形成的重合点，通过将实物教学模型与课本知识相互结合，使理论联系实际。通过这样的学习方式能够让学生主动思考、积极参与实际操作，并在学习当中构建明晰的表象，使得思维趋向于理性化。另外，可在教学当中充分应用现代多媒体课件，与动态的影像视听相互结合，演示出思维发展的趋向，这样可提高学生在学习当中的主动性，提升教学效率与质量。
二、鼓励学生亲自动手
教师在教学当中通常会忽视培养学生的动手能力，在课堂教学当中，学生较少能够亲自动手进行实践操作，而是听教师进行讲解，这样就造成了学生被动接受知识的局面，对于知识缺乏感性的认知，这也会使学生难以锻炼和提升形象思维能力。科学研究证明，在小学数学课堂教学当中学生经过亲自动手实践操作，能够更加深入地理解和掌握知识，同时经过亲自动手能够加深对知识的记忆，获得直观形象的表象。可提升学生的形象思维能力，并能较为顺利地解决问题。可是由于小学生难以长时间集中注意力，如果在教学当中开展动手实践，就可能导致课堂教学秩序产生混乱。鉴于此，教师较少开展动手实践课程。例如，在苏教版小学数学《位置与方向》一课当中，教学目的为指导学生学习与掌握两个点之间的位置方向，可由教师经过精心设计，开展动手实践课程，教师可先将学生划分为几个学习小组，发给每个学习小组一张学校平面图，布置学生学习任务：实地测量校园里的各类建筑物的实际位置，并在学校的平面图上将测量数据进行标注。借助动手实践的学习活动，让学生深入理解位置与方向知识，并进一步认知平面图的重要作用。
三、有效利用数形结合
数作为抽象性的数学知识，而形为具体化的图形、实物、教具等。数与形两者具有密切关联，学生应该先从形的层面形象思维，认真细致进行观察、实际动手操作，相互比对，经过深入分析与研究，并基于感性素材抽象化，方可取得有关数的知识。例如，课本当中的相关例题，在作为数量关系表示时，可合理地应用各种色彩以及现实生活当中的山川河流、动植物、各种现代的科技产品，通过展现这些实物，既能较好地表述数量关系，也能有效地促进学生形象思维能力的提升。另外，在数学应用题的教学当中，因为应用题充分融合了文理、算理、事理三个方面的知识，呈现出抽象化的特点，学生看到后难以在大脑中出现直观形象的表象。借助线段图可以体现出条件之间的关系，并能将数转变成形，有效地促进学生的发散性思维，解决问题。因此，绘制出正确的线段图，有助于学生构建正确的表象，使数量关系从复杂转变为明晰。应用线段图、数与形结合等教学方法，能促进学生想象力，既提升了学生的形象思维，又达成了抽象与形象两种思维的相互补充。
教师在小学数学教学过程中，需要应用多样化的教学方式，指导学生进行积极思考，促进学生充分发挥想象力，有助于学生培养科学合理的思维方式，提升学生的形象思维能力，能够让学生深入理解数学知识，促进小学数学教学效率与质量的提升。
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逻辑思维是创造思维的基础，创造思维往往是逻辑思维的简缩。就多数学生说，如果没有良好的逻辑思维训练，很难发展创造思维。因此如何贯彻《大纲》的目的要求，在教学中有计划有步骤地培养学生逻辑思维能力，是值得重视和认真研究的问题。
逻辑思维能力是数学能力的核心，依据《大纲》和《考试说明》的精神，近年来的高考十分重视对学生逻辑思维能力的考察。本文结合高三数学复习，谈以下几点认识和教学建议。
一、千头万绪抓根本，发展逻辑思维能力是培养学生数学能力的核心，训练只能加强，不能削弱
高中教学的逻辑思维能力，说到底是一个正确、严谨、合理地进行思考和解决问题的能力，它要求学生在对具体问题的观察、分析、类比、归纳、演绎、综合、抽象和概括时，周密严谨，有理有据；也要求在采用演绎、归纳和类比等推理方式进行推理和论证的表达中，格式、步骤要规范，要准确而有条理，符合逻辑。
逻辑思维能力实际上是运算能力和空间想像能力的基础。《大纲》在提到培养学生的逻辑思维能力中，指出“注意培养良好的思维品质”。这也就进一步说明了，培养学生逻辑思维能力和提高思维品质是相互关联、密不可分的！
基于以上几点，复习课中，科学地设计和强化对学生逻辑思维能力的训练，于素质、于能力、于思维品质，都是必需的务实之举；抓住了这一点，无疑就抓住了核心、抓住了根本。
二、关于如何科学地培养和训练学生逻辑思维能力的具体做法和教学建议
1.充分注意向学生展现探究问题的全部失败或成 功的思维过程，培养学生周密、严谨、灵活思考问题的良好习惯。
着眼于方程的“二次”结构特征，学生的惯常思路是解出cosx=-1或cosx=■，而后据给定区间及解的惟一处理之，无疑，这个思考过程是正确的，符合逻辑的，但若仅局限于此，未免有些单薄，事实上，作为经验丰富的教师，会注意向学生揭示和展现以下几种思考这个问题时的出发点和过程。
Δ=0-1≤■≤1或 Δ>0f<0f=0或δ>0f=0■<0
解之，亦可得a≤-3或a>1.
由上述可见，f的图象与横轴在[-l，1]上仅一个交点时，列式求值是繁难的，能否求简？注意到交点情况在这里无外乎：在[-1，1]上有一个，在[-1，1]上有零个或有两个。显见f=0，故“惟一交点”的对立面即为“有两个交点”。而在[-1，1]上有两个交点等价于：Δ>0f≥0f≥0→-3
显然，这样的揭示和展现，既处处体现了逻辑思维的深刻性、严谨性，又体现了数形结合思想方法、函数思想方法，也培养了等价转化、遇繁思简的思维意识；对问题的彻底解决大有裨益。
2.密切关注学生思维失误的表现，通过旗帜鲜明、有的放矢地训练和点拨，使学生在“吃一堑、长一智”中不断提高。
例2.设{an}为等比数列，a1=8，公比q=■，则a6与a8的等比中项是
A.■； B.±■； C.■ ； D.±■
当观察到a6=85，a8=87后，学生常会误选；他们认定a6与a8的`等比中项必为a7，要让学生知道，这犯了“顾此失彼”的逻辑思维错误，根源在于缺乏思维的严谨性，而要使思维严谨，出发点和依据就不能出错，教材中定义a、b、c三数成等比时，b2=ac，即b=±■，这是理论根据；在无其他限制条件时，不能更改。思维的片面性和简单化是发生此类错误的根源。
例3.若y=log2在上是减函数，求实数a的取值范围。
许多学生会这样思考；真数u=x2-ax-a在上是减函数且大于0，于是有：
这个逻辑推理犯了“盲目加强条件”的错误，要让学生结合教材中充要条件的论述，明白这个问题的实质不在于要求“真数u恒大于0”，而在于求y在上有意义且递减时的充分条件，即：■≥1-■f≥0
由此得出：2≤a≤2。
3.锤炼数学语言，培养逻辑推理能力
数学语言是正确进行推演论证的重要工具，过不了纯熟的语言关，就无法规范、流畅、准确地表达思维成果，因此，做好这方面的工作，是培养学生逻辑思维能力的重要一环。
最后值得强调的是，高中的后两年，恰是学生逻辑思维能力飞速提高的阶段，因此，训练的措施与程度是否得力与深刻，确实关系着学生数学素质的奠基。
总之，在高中数学教学中，要发展学生思维能力，就要引导学生去分析、比较、综合、抽象、概括、判断、推理，然后对学生思维的过程给予肯定或纠正。有经验的教师总是注意让学生用语言表达自己的计算过程和解题思路，结果学生思维能力有较快的提高。教师还应有意识有计划地注意帮助差生，鼓励差生发言，推动他们积极思维，以便促使他们的数学成绩和思维能力都取得较大的进步。
如何培养学生的数学思维7
中学生学习数学的主要能力是逻辑思维能力, 逻辑思维是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的思维方式，是借助于概念、判断、推理等思维形式所进行的思考活动，因此，尤其是面临中考和奥赛的学生的学习中,学生的逻辑思维能力的培养和提高尤为重要和紧迫.我们要做到以下几点:
一、思维过程的组织要得到相应的重视
要培养和提高学生的数学逻辑思维能力，就必须把学生组织到对所学内容的分析和综合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维的过程中来。教学中要重视下思维过程的组织。
第一，提供感观材料，组织从感观到理性的抽象概括。从具体的感观材料向抽象的理性思考，是中学生逻辑思维的显著特征、随着学生对具体材料感知数量的增多、程度的增强，逻辑思维也逐渐加强。因此，教学中教师必须为学生提供充分的感观材料，并组织好他们对感观材料从感知到抽象的活动过程，从而帮助他们建立新的概念。例如教学科学记数法时,可让学生观察小数点移动的位数与10的n次方中n的关系,学生通过思考会发现小数点移动的位数正好是n的绝对值,应该向前移n为正,向后移n为负.这种抽象概括过程的展开，完全依赖于“观察----思考”过程的精密组织。
第二，指导积极发散拓展，推进旧知向新知转化的过程。数学教学的过程，其实是学生在教师的指导下系统地学习前人间接经验的过程，而指导学生知识的积极发散，推进旧知向新知转化的过程，正是学生继承前人经验的一条捷径。中学数学教材各部分内容之间都潜含着共同因素，因而使它们之间有机地联系着,我们要挖掘这种因素，沟通他们的联系，指导学生将已知迁移到未知、将新知识同化到旧知识，让学生用已获得的判断进行推理，再获得新的判断，从而扩展他们的认知结构。为此，一方面在教学新内容时，要注意唤起已学过的有关旧内容。
第三，强化练习指导，促进从一般到个别的运用。学生学习数学时、了解概念，认识原理，掌握方法，不仅要经历从个别到一般的发展过程，而且要从一般回到个别，即把一般的规律运用于解决个别的问题，这就是伴随思维过程而发生的知识具体化的过程。因此，一要加强基本练习；二要加强变式练习及该知识点在中考和奥赛中出现的题型的练习；三要重视练习中的比较和拓展联系；四要加强实践操作练习。第四，指导分类、整理，促进思维的系统化。教学中指导学生把所学的知识，按照一定的标准或特点进行梳理、分类、整合，形成一定的结构，结成一个整体，从而促进思维的系统化。例如讲二元一次方程时,可将方程的所有知识系统梳理分类,在学生头脑中有个“由浅入深,由点到面”的过程。
二、寻求正确思维方向的训练
第一：逻辑思维具有多向性，指导学生认识思维的方向。正向思维是直接利用已有的条件，通过概括和推理得出正确结论的思维方法。逆向性思维是从问题出发，寻求与问题相关联的条件，将只从一个方面起作用的单向联想，变为从两个方面起作用的双向联想的思维方法。横向思维是以所给的知识为中心，从局部或侧面进行探索，把问题变换成另一种情况，唤起学生对已有知识的回忆，沟通知识的内在联系，从而开阔思路。发散思维。它的思维方式与集中思维相反，是从不同的角度、方向和侧面进行思考，因而产生多种的.、新颖的设想和答案。教学中应注重训练学生多方思维的好习惯，这样学生才能面对各种题型游刃有余，应该“授之以渔而不是授之以鱼”！要教学生如何思考，而不是只会某一道题。
第二：指导学生寻求正确思维方向的方法。培养逻辑思维能力，不仅要使学生认识思维的方向性，更要指导学生寻求正确思维方向的科学方法。为使学生善于寻求正确的思维方向，教学中应注意以下几点：
1．精心设计思维感观材料。培养学生思维能力既要求教师为学生提供丰富的感观材料，又要求教师对大量的感性材料进行精心设计和巧妙安排，从而使学生顺利实现由感知向抽象的转化。
2．依据基础知识进行思维活动。中学数学基础知识包括概念、公式、定义、法则、定理、公理、推论等。学生依据上述知识思考问题，便可以寻求到正确的思维方向。例如有些学生不知道如何作三角形的中位线，怎样寻求正确的思维方向呢？很简单，就是先弄准什么是三角形的中位线，作起来也就不难了。3．联系旧知，进行联想和类比。旧知是思维的基础，思维是通向新知的桥梁。由旧知进行联想和类比，也是寻求正确思维方向的有效途径。联想和类比，就是把两种相近或相似的知识或问题进行比较，找到彼此的联系和区别，进而对所探索的问题找到正确的答案。
4．反复训练，培养思维的多向性。学生思维能力培养，不是靠一两次的练习、训练所能奏效的，需要反复训练，多次实践才能完成。由于学生思维方向常是单一的，存在某种思维定势，所以不仅需要反复训练，而且注意引导学生从不同的方向去思考问题，培养思维的多向性。
三、对良好思维品质的培养要给予足够的重视
培养学生逻辑思维能力必须重视良好思维品质的培养，因为思维品质如何将直接影响着思维能力的强弱。1．培养思维敏捷性和灵活性。教学中要充分重视教材中例题和练习中其它解法，并对比哪一种最优，怎样分析的，有没有不足之处，指导学生通过联想和类比，拓宽思路，选择最佳思路，从而培养学生思维的敏捷性和灵活性。2．培养思维的广阔性和深刻性。教学中注意沟通知识之间的联系，可以培养思维的广阔性和深刻性。3．培养思维的独立性和创造性。教学中要创造性地使用教材和借助形象思维的参与，培养学生思维的独立性和创造性。教材例题中前面的多是为学习新知识起铺垫，后面的则是为已获得的知识的巩固、加深。因此，对前面例题教学的重点是使学生对原理理解清楚，对后面例题教学则应侧重于实践。之后的练习应进一步加深、拓展、发散。
良好的思维品质、逻辑思维能力是学生在中考、奥赛中取得高分、满分的必要条件，学生在学习中应努力锻炼自己，努力使自己成为学习中的猛将，考试中的高手，生活中的强者！同学们加油啊！
如何培养学生的数学思维8
作为数学老师，我一直在反思这样一个问题,为什么城市的学生数学思维能力强，同样一个与生活相关的问题，城市学生很快在课堂上理解，而我们农村的一些孩子百思不得其解？
具体原因有待我们每个人去探究。而我觉得家长适当的引导应是其中之一，在遇到生活中的数学问题时城市的家长会耐心的给学生解释，而我们的家长缺乏这方面的的意识，那么，我们就应当给学生补上这一课。
我的做法是：布置前置性作业。比如，在学习第一单元圆的认识之前，我拿着一根绳子把学生带到操场，老师站定，问：“老师现在站在这里不动，你们怎样站能每个人离老师同样的距离？”一开始学生站成了一排，结果发现中间的学生离老师近，两边的学生离老师远。接着，学生们又站成了一个正方形，比比刚才差距是小了，但角上的学生不愿意。最后学生围成了一个类似圆圈的形状，我又拿出一根绳子检验学生与我的距离是否真的一样长，结果便检验，学生边挪动脚步，最后一个完美的圆诞生了。后来在讲圆的图形特点及半径的特点时，学生很快就领悟到了。还有在学习观察的范围前，以我往年的'教学经验，这一方面是教学的难点，好多学生到期末都没弄懂怎么回事？于是在上课前，我准备了这样一个活动。我把学生集中在操场上，找了一块儿大黑板立着，第一次是学生在黑板前排成一排，依次派一位学生从黑板后分别从半蹲、站立，站凳子三个高度观察哪些同学你能看得见，让学生体会站的高度不同观察的位置也不同。第二次是让学生在黑板前排成一行，一位学生分别从离黑板不同距离的地方观察哪些同学你能看得见。可以说这一单元在去年我教的班级里学生的失分较高，但今年，上新课时，90%以上学生当堂掌握了。期中测试这一单元学生没来及复习，但从整个卷面上分析，这一部分的失分率最低。
如何培养学生的数学思维9
《义务教育课程标准》明确要求：教师要重视学生在获取和运用知识的过程中，发展思维能力，数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示获取知识的思维过程，后者对发展能力更为重要。在教学中，我们应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的能力。
下面结合自己的数学教学实践，谈谈调动学生学习积极性，培养学生思维能力的一些做法。
一、精心创设情境，调动学习热情
热爱是产生学习动力的源泉。有了热爱， 学生才能对数学有着浓厚的兴趣，在执着地学习中追求和探索。在数学课堂中，精心设置情境，恰当运用具体的人和事， 能激发学生主动参与的积极性。
例如：给初一学生上第一节数学课时，我叫大家拿一张作业本纸竖直剪成10条， 接着问：在以每条的式样设计成作业本能用吗？如果我们的书也设计成这种式样好吗？学生都说不好，然后引导到数学中的比例问题。
再如：教师把自己的嘴扭向一边，问好看么？学生答：不好看，我问：为什么？学生答：左右不对称。于是说 我让学生联想生活中还有哪些物件跟人脸一样是对称的，学生很快想到桌凳、黑板、汽车、飞机、轮船、动车等等，教师进一步鼓动说：也许你们今后能设计制造出比这些物件更精美、更高档的物件，只要学好数学基础知识一定能！
学生明白了这些，对数学的理解更深入了，也产生了浓厚的兴趣。
二、巧妙设置问题，激发思维积极性
实践证明，问题是数学的灵魂，数学从问题开始也得解决问题。教学中平铺直叙地讲解，一般是不会引起学生学习兴趣的。如果我们能够根据教学内容，设置悬念，引起学生认知上的矛盾与冲突，便能激发起学生要求解疑的心理需求，培养思维积极性。
如教学《勾股定理》，可设置问题：由两个正方形组成的图形，能否剪拼为一个面积不变的新的正方形，若能，看谁剪的次数最少。 教师在此设置问题不仅是检验勾股定理的灵活运用，更是对勾股定理探究方法和证明思想（数形结合思想、面积割补的方法、转化和化归思想）的综合运用，从而让学生在探究中解决问题、发展创新能力。同时，注重展现思维过程。
数学教学过程是学生在教师的指导下通过自己积极的思维活动学习数学知识的思维过程。因此，忽视思维过程的活动，只讲结论，不讲过程，不让学生自己动脑， 就会造成学生思维懒惰，使思维形成定势或僵化。展示思维过程， 能揭示知识的发生、发展变化，使学生迅速抓住思考问题的本质，使思维向纵深发展。
以《多边形内角和定理》问题的创设为例。
首先教师问：三角形和四边形的内角和分别为多少？四边形内角和是怎样探求的？
（转化为三角形）那么，五边形内角和你会探求吗？六边形、七边形 n 边形内角和又是多少呢？这样鼓励学生思考，指导他们发现方法，渗透类比，归纳、猜想。
接着教师又提出：从四边形内角和的探求方法，你得到什么启发呢？五边形如何化归为三角形，三角形数目是多少？六边形 n 边形呢？你能否用列表的方法给出多边形内角和与边数，化归为三角形的个数是多少？从中你能发现什么规律，想一想怎样求 n 边形内角和？可得出什么结论？
进而让学生揭示思维过程，探索论证方法，让学生参与探索定理的结论及证明过程，大大激发学生的求知兴趣，思维能力也得到逐步发展。
三、抓住内容精华， 培养思维深刻性
课本中的概念与习题是教科书的重要组成部分，是数学问题的精华，是数学知识的浓缩。深化课本概念和习题教学，是巩固学生双基，培养学生能力，发展学生智力，提高学生数学素质的一条重要渠道；引导学生钻研概念与习题，并加以恰当的分析研究、归纳是提高学生思维能力的有效方法。
如教学《因式分解》。在数学教材中，因式分解是学生在学习了整式乘法后，自然地引人的，如 m（a +b +c） = ma + mb+ mc 是乘法运算，反过来得到：ma+mb+mc= m（a+b+c）则是因式分解。这里明确指出了因式分解与整式乘法的'关系。于是教材结论出如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
接着得出：把 （a +b）（a-b）= a2-b2 反过来就得到a2-b2 = （a + b）（a - h），即因式分解的平方差公式。由此，抓住类比思维，抓住因式分解与整式乘法的互逆性这条主线，既能使学生真正理解因式分解的含义，又可以从思维的角度训练其逆向思维的能力。
同时，注意在教学中一开始就强调让学生运用因式分解与整式乘法的互逆关系来进行验算。教学中，在处理因式分解中的分组分解法时，要强调用分组分解法时，一定要想想分组后能否继续进行，完成因式分解，由此合理选择分组的方法。
这样逐步深入，有利于提高学生整体观察能力，培养他们思维的深刻性。
四、采用一题多解， 鼓励钻研与探索
数学教学其实是教学思维活动的教学，数学思维中最可贵，层次最高的品质是创造思维。创造力是后天培养和造就的。开展创造性思维训练，绝不是针对高智力学生，也不限于中等以上的学生，而是要面向绝大多数学生，让他们都有机会进行思维创造力训练，提高数学素质。
当然，培养创造性思维能力是多方面的，如观察力、想象力、发散思维能力、动态思维能力、灵感等。现以在解题中通过进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的方法进行训练，培养学生思维的探索性、灵活性、创造性。一题多解多变训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。
如分解因式：x3 + 3x2- 4，这个题的解法就有好几种。事实上， 每个题中都会隐含一些内在规律。我们可以通过不同的途径达到解题的同一目的。
因此，探求一题多解多变， 对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的。在教学中，我们要经常进行这种训练，培养学生思维的创造性。
五、教学活用多媒体，强化能力培养
多媒体课件在初中课堂教学实践中的运用，给我们的教学工作增添了新的方式、丰富了教学的形式；大大提高了课堂教学的效率，虽然不是无所不能的良药，只要适时、适量、恰当运用，就会起到动一子而全盘皆活的良效，减轻教师负担，减轻学生负担，促进课堂教学更科学，更优化，更好培养学生数学能力。
如学习《轴对称图形》，在创设情境、导入新知，动手操作、探究新知，巩固练习、运用新知的过程，随机展示生活中各种轴对称图形，让学生全方位认知。在此基础上组织学生与老师合作探究、与同伴合作交流，充分地理解轴对称图形的特点，提高识别生活中轴对称图形的能力，进而培养学生数学素养。
总之， 教学中，我们要以数学思想方法为指导，注重创设问题情境， 把握内容精华， 采取一题多解多变， 适当运用多媒体， 就能增强学生学习兴趣， 启迪和培养学生思维， 开发学生创造力， 提高学生综合素养。
如何培养学生的数学思维10
【摘要】数学思维是人脑与数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动.在公式、定理、性质的教学过程中，教师精心编制一系列由简单到复杂的变式训练题，组织学生进行尝试练习，引导学生参与知识的发现、探索、推导过程，可以提高思维的探究水平，更可以掌握具有广泛性的思维方法.
【关键词】数学思维；变式训练
一、问题提出的背景
学生数学学习的认知水平一般分为三个层次：记忆模仿型、说明性理解型与探究性理解型.为了培养与提高学生的数学思维能力，引导学生向探究性理解型发展，教师在课堂教学中，要敢于和善于给学生提供一定的独立思考、发现问题的条件和机会.适当地进行变式训练、一题多解、一法多用，可以让学生形成富于联想的思维习惯.数学公式作为解题的工具，深刻理解并准确掌握数学公式是学好数学的第一关.数学公式应用广泛，推导方法具有代表性，所以人们把它比喻为“数量关系的精髓”.在一般的数学教学中，我们通常是推导公式，首先教师讲解例题进行示范，然后学生模仿反复练习.一两堂课下来，学生对数学课的印象就是推导公式、代公式解题，纯粹把数学课看成做题目的枯燥无味的课，长此以往，对数学课就越来越没兴趣.如何提高学生学习数学的兴趣，让学生真正地参与课堂，在实践中培养学生的数学思维，是数学老师一直思考的问题.
二、案例再现
以五年制高等师范数学教材中的“二倍角的三角函数”这节内容为例，老师在引导学生推导出公式后，对公式进行变形研究，使学生能够找到它的一些其他形式并进行相应的应用.这样既能深刻理解公式，又可灵活应用于解题，课堂气氛热烈，学生学习积极性高.
公式的导出部分老师让学生利用学过的正弦、余弦和正切的和角公式，化归为二倍角公式，让学生理解“二倍角” 与 “两角和” 的内在联系.
在公式的运用应用部分，老师是这样设计的：
提问：二倍角公式结构特征有哪些？
师生互动：教师在黑板上板书且同时启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比，学生思考并回答问题以达到熟练公式结构的目的..学生通过观察比较，能很快地归纳出二倍角公式的结构特征.为了能很好地巩固和理解公式中“二倍角”含义，也为下面灵活应用公式化解和求值做准备，教师设置了以下练习：梯度一 （让学生理解倍角的相对性）
在以上问题中主要突出的是倍角的相对性，以及公式左右两边的角的变化.为了进一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形，特意由浅入深设计以下课堂练习以达到相关目的.学生对比二倍角公式的形式特点，基本能准确地填出结论，并且在给出结论的同时也真正理解了“二倍”的含义.二倍角的正弦公式、余弦公式是三角恒等变换中的重要公式，在理解和掌握公式的基础上，若能对公式作一些变形，并在解题中予以灵活运用，则可激活思维，化繁为简，使得解题过程更加简洁明快.教师在学生理解梯度一的基础上，再设计了以下两组变式训练：梯度二：（熟练公式结构并会用公式的逆用）
经过三个梯度的训练，学生对公式的结构与公式的应用达到基本熟练之后，下一步就可以提供机会让学生利用倍角公式进行求值运算、以培养学生运算、分析和逻辑推理能力，可以很好地完成本节课的教学目标之一与难点之一.
三、案例教学反思
上课班级的学生基础相对较好，特别是男生，如果纯粹是讲公式后让学生模仿做题目，学生没有独立思考的机会，没有亲自体验公式和概念的形成过程，只能是做题目的机器，对知识一知半解，更不用说学以致用了.学生也会觉得没有挑战性，从而对数学学习缺乏积极性.学生只有在亲自实践中才能获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力.老师在教学中对二倍角公式的深化变式，让学生积极思维，既提高了学习的积极性，又加强了对公式的理解和应用.
数学的公式有很多的变式，这些变式为学生提供了广阔的天地，同时在公式的变式过程中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，从而有利于学生更深刻地理解数学公式的本质.通过探求公式的变式的应用，可以培养学生直觉思维、快速解题的能力，有利于培养学生的逆向思维、发散思维等，形成良好的思维品质.
（一）公式的变式应用可以培养学生简单的直觉思维能力和解题能力
（二）公式的变式应用可以培养学生的逆向思维能力
人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法.其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化.数学教学中可表现为某些数学公式、法则等逆用来解决有关问题.如二倍角这节课中，很多学生对于数学课本中的公式很熟练，但对它们的逆向运用却往往忽视.因此，老师在二倍角公式教学中，贯穿双向思维训练，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还注意引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展.如梯度一和梯度二的设计，这样正向和逆向叙述相结合，使学生对公式的理解更加深刻，知识掌握得更加灵活，对数学思维的训练也起着重要的作用.
（三）公式的变式应用可以培养学生的发散思维能力
赞可夫说过：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的”.在课堂教学中应该适当给学生提供独立思考问题、自己提问题的条件与机会为发散思维的培养创造良好的内、外部的环境.老师在教学过程给出（sinα-cosα）2 和cos4β-sin4β题目给出后，没有直接板书讲解，而是让学生讨论，给学生提供探索尝试的机会.学生们跃跃欲试，积极动脑，一部分学生能自己利用二倍角公式和平方公式推算出结论，运用已学知识去解决新问题，并进行多种尝试，学生的解题思维得到拓展，学习积极性提高.如果老师怕学生在课堂上听不懂、吃不饱，总是在课堂上讲个不停，即使提出问题也是匆匆而过，学生没有进行充分思考问题的时间，这样培养的学生也不可能具有探究性思考的习惯与能力，当然谈不上培养发散思维了.
数学教学就是数学思维活动的教学.因此，在数学教学中展现思维活动，教师在课堂教学中应该精心设计，给学生充分思考问题的机会和时间，让学生亲自参与思维活动，不仅体现了这种教学思想，而且有利于提高学生的思维的探究水平，从而提高学生学习数学的兴趣.
如何培养学生的数学思维11
一、培养学生形象思维能力是小学数学教学的一项任务
1.从科学技术发展看培养学生形象思维能力的重要性。
形象思维是人在头脑中运用形象（表象）来进行的思维。人类发现，掌握事物的本质，人类科学技术发明 ，首先是从形象思维开始的。如我国古代发明家鲁班，因为手被有带齿的小草刺破而发明了锯子；牛顿看到苹 果从树上掉下来，发现了万有引力；著名科学家瓦特看到水壶里水开了，蒸气能掀动水壶的盖，从而发明了蒸 汽机。所有这些都说明，形象思维实质上是人们对日常生活中的事物和现象的直观感觉的应用，这种直觉以表 象为基础，进行联想与想象，达到创造发明的目的。我国著名科学家钱学森曾经说：“我建议把形象思维作为 思维科学的突破口……这将把我们智力开发大大向前推进一步。”
2.从儿童思维发展看培养学生形象思维能力的必然性。
小学生以具体形象思维为主，逐步向抽象思维过渡，这个阶段的抽象思维仍然占有很大的具体形象性。但 是，在我们日常教学活动中，研究如何培养学生抽象思维能力较多，研究如何培养学生形象思维能力较少，造 成在实际教学中，学生在对具体事物（图形）直观感知以后，教师还没有引导学生对直观感知的材料进行概括 ，在学生头脑中形成鲜明的形象，并能运用这种形象进行思维，就直接跳到抽象概念，使学生对所学的知识一 知半解。如在《长方体和正方体体积》教学中，有的教师根据教材中的实物图，让学生观察了火柴盒、工具箱 和水泥板以后，立即提出问题：三个物体中哪一个所占空间最大？哪一个所占空间最小？接着就概括出物体所 占空间的大小叫做物体的体积的概念。虽然有直观过程的感知，有问题的思考，但学生对物体都占有空间吗？ 不同物体所占空间大小都不一样吗？这些都还没有理解，没有在头脑中形成鲜明形象，因此对体积概念的认识 也就一知半解，导致有的学生误认为物体大小就叫做物体的体积。这不能不说是当前小学数学教学中存在的一 个弊端。形象思维是抽象思维的前提，培养学生形象思维能力符合儿童思维发展规律，是小学数学教学的一项 任务。
二、培养学生形象思维能力是提高数学教学质量的需要
形象思维的基本形式包括表象、联想和想象。在教学中让学生获得正确、丰富的表象，培养学生联想能力 、想象能力是提高小学数学教学质量的需要。
1.学生获得数学知识，必须先有正确丰富的表象。
表象是对过去知觉过的对象和现象在头脑中产生的映象，它既能以直观的形象来反映现实，又具有一定概 括性。没有表象就不可能有形象思维。数学知识比较抽象，教学时，教师如能把抽象知识“物化”，让学生看 得见，摸得着，能操作，有感受，能在头脑中产生映象，就有利于学生学习。如分数是一个抽象概念，教学时 可以先用具体事物让学生操作，把一个圆形硬纸板平均分成2份，把一张长方形的纸平均分成4份，把一条绳子 平均分成5份，再分别把其中的1份涂上颜色，与其余各份一一比较。通过这样的实际操作，并对操作中知觉过 的东西进行概括，就在学生头脑中留下“任何一个东西都可以平均分成几份，每份就是它的几分之一”的形象 。有了这个形象，就可以概括出分数这个概念。由形象到抽象，有利于学生牢固地掌握数学知识。
2.联想能促进记忆。
数学是一门系统性很强、前后知识联系十分紧密的学科，学习新知识要以有关旧知识为基础。这就要求学 生有一定记忆能力，而记忆常常要借助于联想。小学数学中的联想主要有：①接近联想。如学生进行整数的四 则混合运算，就想起整数四则混合运算的顺序；学生要进行简便计算就想起加法交换律、加法结合律、乘法交 换律、乘法结合律、乘法分配律等；学生要化简分数就想起约分、能被2、3、5整除的数的特征。②类似联想。 如由约数联想到公约数、最大公约数；由倍数联想到公倍数、最小公倍数；由整数加减数位要先对齐想到小数 加减小数点要先对齐、异分母分数加减要先通分。③对比联想。如扩大与缩小，增加与减少，增加到与减少到 ，奇数与偶数，质数与合数等。由此可知，联想是由某一事物想到另一事物的思维过程，是形象思维的一种形 式，是促进学生记忆的一种手段，有助于学生牢固掌握系统数学知识。
3.想象是克服应用题教学难的妙药。
小学数学中的应用题是根据日常生活或生产中存在的数量关系，用文字叙述形式表达出来的实际问题。由 于应用题条件和问题是蕴含在文字叙述之中，数量关系比较抽象。而学生思维是以具体形象思维为主，解题时 ，他们如果不能把应用题的数量关系再现为具体图形进行形象思维，解题就产生了困难。如果学生审题时边读 边想，并能根据题意，把题中数量关系构成具体图形，解题就容易多了。这种根据应用题语言的表述，在头脑 中形成有关事物的形象（示意图）就是想象，属于再造性想象，可见培养学生再造性想象能力，是克服应用题 教学难的有效方法，想象是形象思维的一种方式。
三、对如何培养学生形象思维能力的`探索
1.在教学中要重视教具、学具的运用。
教学中要运用学具、教具，给学生提供充分的观察和操作机会，让学生用多种感官去感知事物和现象。通 过比较、概括，反映出客观事物和现象的直观性的特征，就能获得正确表象。教具的演示和学具的应用要注意 多角度、不同方位和多样性。如角的认识，既要观察有锐角、直角的物体，也要观察有钝角的物体；要出示大 小不同的角的图形，也要出示位置不同的各种角的图形；既要出示静态中的角，也要演示动态中的角。学生观 察客观事物和现象越全面、深刻，获得的表象就越正确、丰富，形象思维水平就越高。
2.在教学中要重视数形结合。
3.联系实际，培养学生空间观念。
空间观念是物体的形状、大小、长短和相互位置关系的表象。要培养和发展学生空间观念，教学时一定要 联系实际。如要使学生获得长度单位1厘米长短的表象，学生要先用直尺量图钉、手指，1厘米大约是1只图钉长 ，食指的宽大约是1厘米；要使学生获得面积单位1平方厘米大小的表象，就让学生先用边长是1厘米的正方形量 一量大拇指的指面，大拇指的指面大小大约是1平方厘米。通过这样在实际中量一量，比一比，1厘米的长短， 1平方厘米的大小就在学生大脑中留下了表象，形成了空间观念。由此可见，培养和发展学生空间观念的过程， 也是培养和发展学生形象思维能力的过程。
如何培养学生的数学思维12
在小学数学教学的过程中，在培养学生初步的逻辑思维能力的同时，也要有意识地培养学生的发散思维能力。总结了以下四点：
一、鼓励独创
在分析和解决问题的过程中，学生能别出心裁地提出新异的想法和解法，这是思维独创性的表现。尽管小学生的独创从总体上看是处于低层次的，但它却蕴育着未来的大发明、大创造，教师应满腔热情地鼓励他们别出心裁地思考问题，大胆地提出与众不同的意见与质疑，独辟蹊径地解决问题，这样才能使学生思维从求异、发散向创新推进。如解答“某玩具厂生产一批儿童玩具，原计划每天生产60件，7天完成任务，实际只用6天就全部完成了。实际每天比原计划多生产多少件玩具?”一题时，照常规解法，先求出总任务有多少件，实际每天生产多少件，然后求出实际每天比原计划多生产多少件，列式为60X7÷6-60=10(件)。
而有一个学生却说：“只须60÷6就行了”。他理由是：“这一天的任务要在6天内完成所以要多做10件。”从他的回答中，可以看出他的思路是跳跃的，省略了许多分析的步骤。他是这样想的：7天任务6天完成，时间提前了1天，自然这一天的任务(60件)也必须分配在6天内完成，所以，同样得60÷6=10，就是实际每天比计划多做的件数了。毫无疑问，这种独创性应该给予鼓励。独创往往蕴含于求异与发散之中，经常诱导学生思维发散，才有可能出现超出常规的独创;反之，独创性又丰富了发散思维，促使思维不断地向横向与纵向发散。
二、多种形式的训练
在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。
1.一题多变。对题中的条件、问题、情节作各种扩缩、顺逆、对比或叙述形式的变化，让学生在各种变化了的情境中，从各种不同角度认识数量关系。
2.一图多问。引导学生观察同一事物时，要从不同的角度、不同的方面仔细地观察，认识事物，理解知识，这样既能提高学生思维的灵活性，又能培养学生的发散思维能力。
3.一题多议。提供某种数学情境，调度学生多方面的旧知、技能或经验，组织议论，引起思维火花的撞击。
4.一题多解。在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。它可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的。
三、诱导乐于求异的心理倾向
赞可夫说过：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的'东西，是很容易从记忆中挥发掉的”。赞可夫这句话说明了发散思维能力的形成，需要以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力。教师妥善于选择具体题例，创设问题情境，精细地诱导学生的求异意识。对于学生在思维过程中时不时地出现的求异因素要及时予以肯定和热情表扬，使学生真切体验到自己求异成果的价值。对于学生欲寻异解而不能时，教师则要细心点拨，潜心诱导，帮助他们获得成功，使学生渐渐生成自觉的求异意识，并日渐发展为稳定的心理倾向，在面临具体问题时，就会能动地作出“还有另解吗?”“试试看，再从另一个角度分析一下!”的求异思考。
四、诱导变通
变通，是发散思维的显著标志。要对问题实行变通，只有在摆脱习惯性思考方式的束缚，不受固定模式的制约以后才能实现。因此，在学生较好地掌握了一般方法后，要注意诱导学生离开原有思维轨道，从多方面思考问题，进行思维变通。当学生思维闭塞时，教师要善于调度原型帮助学生接通与有关旧知识和解题经验的联系，作出转换、假设、化归、逆反等变通，产生多种解决问题的设想。
如何培养学生的数学思维13
一、统观全局，环环相扣
数学以其高度的抽象性著称，数学中大量的概念、定理、公式使不少学生觉得枯燥、晦涩。然而，数学的系统性逻辑性很强，新旧知识联系紧密，作为数学教师应能驾驭全部教材，掌握其内在联系，做到知第一步，走第二步，为第三步，想第四步，才能帮助学生把头脑中最基本的数学概念、规律和方法构成紧密联系、融汇贯通的知识网络。当出现新知识时，学生就能从原有的知识结构中找出有关联系，进行改组、转换，使其与新知识相适应，促成知识的迁移，并在这一过程中将知识转化为能力。
教学过程中，既要考虑到学生如何将知识学会，还要考虑如何帮助逻辑思维的方法。如教“一次式的同类项”时，组成5x两个正整数系数的项有四组，除了课本例举的3x+2x=5x外，还有5x=2x+3x=4x+x=x+4x，但组成5x的整数系数的两项有无数组。练习8x的组成和分解时，我们不应让学生东拼西凑地说出七组，而是启发学生有顺序地进行分解。组成8x还有9x-x=-x+9x=10x-2x+10=……这样不仅使学生巩固了合并同类项法则和加法交换律，还使学生能有顺序地思考和无限地想问题，发展了逻辑思维能力和逻辑记忆能力。
二、重在引导，贵在启发
影响学生逻辑思维发展的'因素很多，而教师的指导思想正确与否极其重要。如果只重视数学结论忽视思考过程，只重视记忆，忽视理解，那么学生在解题时只会机械模仿，缺乏触类旁通和解决实际问题的能力。素质教育应着眼于使学生“会学”，“会学”才能出人才。“会学”的关键在于思维，教学中要善于启发学生分析推理，学会发散思维。引导学生多角度，多层次的思考探讨问题，这也是训练学生逻辑思维能力和创新思维能力的有效途经之一。故教学中一方面要引导学生运用正确的思维方法去获得知识；另一方面要精心设计练习题，启发学生按逻辑顺序去思考问题。学生通过分析、综合、比较、抽象、概括和具体化等思维活动来实现，由特殊到一般和由一般到特殊的归纳法和演绎法的逻辑顺序来进行。学生的兴趣盎然，始终处于积极的思维状态之中。
三、有意识培养，有目的训练
逻辑思维能力的形成和发展，要靠教师的长期培养和训练，贯穿于各个环节、名个阶段之中，不仅新概念新知识的教学要培养，而且练习、复习、考试也要培养，初一、初二年级要抓，初三年级更要抓。老师不仅在拟定计划时要考虑知识要求，还要考虑到达到思维能力的指标。
初中阶段列方程（组）解应用题的教学是培养逻辑思维能力的有效途径。解应用题是中考的必考题型，它与证明题同样重要，解应用题是一种复杂的智力活动，学生要从题目的叙述中进行观察比较，抓住数量关系认真分析、综合、判断、推理才行。报以，在应用题的教学和训练中要培养学生独立理解题意，按逻辑顺序分析数量关系，有效地培养学生的逻辑思维能力。
如何培养学生的数学思维14
【摘要】在数学教学中培养学生的创造思维，发展创造力是时代对我们教育提出的要求。要培养学生的创造思维，就应该有与之相适应的，能促进创造思维培养的教学方式。下面是我在教学中的一些尝试。
【关键词】数学，课堂教学，思维培养
一、创设情境，鼓励学生主动参与学习过程，培养创造性思维能力
青少年学生中蕴藏着巨大的创造潜力，如果不去开发，那永远是一种潜在的力量，只有适当的教育才能使儿童潜在能力向现实能力转化。要使学生具备创造性的思维品质，就要让学生在课堂中有充分发展的天地，就要使学生在课堂中主体性得到充分发挥与发展。为此，我们不仅鼓励学生参与学习，而且引导学生主动参与学习。
1．精心设计导语，激发学习动机，促进主动建构
俗话说，好的开端就是成功的一半。激发学生的学习兴趣，导语很重要。教师须根据学生当时的情况或知识内容，设计出各种各样的以激发学生参与学习的兴趣导语。例如：“分数的初步认识”一课，我设计了如下的导语：我有一个苹果，把这个苹果分给郎鹤亭和张晓龙两位同学，张晓龙接过苹果却说我分得不公平。请同学们想一想，他为什么说我分得不公平，那么怎样才最公平呢？”就是这样的一个简单导入语，既引起了学生们的浓厚兴趣，而且又使学生深刻理解了分数意义中平均分的概念。又如：讲“分数基本性质”一课，我设计了如下的导语：小丽的妈妈给小丽买回一块巧克力，并对小丽说：“每天只能吃这块巧克力的.1/10。”小丽听后很不高兴，求妈妈再让她多吃一点儿。妈妈听了说：“那每天你就吃这块巧克力的2/20吧！”小丽听后接着求妈妈，妈妈最后说：“好，每天最多你可以吃这块巧克力的6/60！”小丽听了很高兴，这时，妈妈也露出了微笑。老师问问大家：“妈妈为什么会也露出了微笑？”问题刚一提出，学生的兴趣就非常浓厚，并且积极投入到思考中。实践证明：带有故事、悬念性或学生感兴趣的导语，能够很好的激发学生的学习动机，使学生快速地参与学习，促进学生知识的主动建构。
2．精心设计学习“小障碍”、培养敢于挑战困难的意志品质与能力
平坦无奇固然可使学生的学习比较轻松，但往往也会使学生感到乏昧。因此，要使学生积极主动参与学习，开发其创造潜能，教师就必须根据学生的认知特点和教材内容，巧妙地设置一些学习上的“小障碍”。只有这些“障碍”在学生新的需要与原有发展水平之间产生冲突时，才能激发学生的学习动机。例如：在四则混合运算一课中，我出了这样一道题20xx/（25-20）*4要求学生用文字的形式给大家表述出来，学生听后七嘴八舌地讨论起来，有20xx除以25与20差的商，再乘以4，积是多少？有25与4的差除20xx的商，再乘以4，积是多少？有4乘25减20差除20xx的商，积是多少……充分体现了从多角度切人的思维品质的灵活与变通。我充分肯定了儿童思维成果后，又为学生设计了一个“小障碍”。这道题最后要求商，怎么办？学生想了许多办法，都不太满意，最后进行讨论，结果是应该有一个括号就好办了。就这样自然引出了中括号。又例如：一次数学课上，我故意出了这样一道题：从甲地到乙地，甲车每小时行30千米，乙车每小时行40千米，甲车先行3小时、乙车再行。问乙车能否追上甲车？经过小组讨论，选出代表发言，有的组说追得上，有的组说追不上，还有的组说这道题给的条件不充分。如果两城距离很远，乙车追得上，如果两城距离很近，乙车就迫不上。同学们听后都满意地点点头。
3．在动手操作中形成知识培养实践能力
数学是一门科学，学习数学的需要。兴趣和动机是学好数学内在动力源。而问题则可以激发、唤醒。鼓励学生积极思考、主动学习。如果能让学生在动手操作中验证设想，发现规律，则学生会更多地获得成功和自信。例如：长方形和正方形面积的复习一课，我让学生们计算一个等腰梯形的面积。学生看题后，觉得无从下手，于是，我让学生们动手尝试，剪一剪，拼一拼，凑一凑。运用数学的转化思想想办法计算其面积，于是，在教师引导下，通过剪拼把等腰梯形转化成了长方形，并计算出了它的面积。又如：梯形的认识及面积的计算一课，我同样请学生运用数学的转化思想，计算梯形的面积。在学生动手操作前，我还为学生准备了三道与之有关的问题，目的就在于让学生带着问题去实践、去尝试。于是，在教师的引导下，各小组都通过剪、拼、摆、把梯形转化成了长方形、正方形、平行四边形以及三角形。通过学生已有的知识推导出了梯形的面积公式。教学实践说明，通过动手活动，使学生充分发挥了主体性，培养了创造性。
4．发挥现代化教学手段的作用，有效突破教学难点
在数学课堂活动中，我不断加强现代化教育意识，充分发挥现代化教育手段在课堂中的作用。例如；学习相遇应用题时，相遇时间、速度和等概念就成为学习的重点和难点。如果仅凭教师一支粉笔，一张嘴那是不容易讲明白的。为此，我运用现代化教学手段，有效地突破了教学难点，并发展了学生的思维。我的做法是：请两位同学进行演示，并提出问题：两位同学同时走，到相遇时停，速度快与速度慢的两位同学谁用的时间长。学生听后七嘴八舌地议论开了，这时，我用计时表为同学掐了表，在实物投影下显示了计时的结果。学生们看后不仅活跃了课堂教学的气氛，而且突破了本课的难点。又如：学习“梯形的认识及面积的计算”一课时，防洪大堤和水渠对于学生来讲是陌生的。于是，我利用电脑为大家显示出来，增强了孩子们的感性认识。在推导梯形面积公式时，一部分学生对梯形如何转化成三角形不一分清楚，于是，我自制课件，为学生显示梯形剪拼成三角形的过程，使学生一目了然，顺利地推导出了面积的计算公式。
如何培养学生的数学思维15
1. 研究背景
随着社会的发展和教育理念的变革，越来越多的家长和学校开始重视小学生数学思维能力的培养。小学奥数课程作为一种特殊的数学教育形式，对于培养学生的数学思维能力具有一定的优势和特点，但其具体的影响和效果尚未得到系统的研究和验证。
2. 研究目的
本研究旨在通过对小学奥数课程的调查和分析，探讨其对学生数学思维能力的影响，明确其在小学数学教育中的作用和意义，为今后的教学实践提供理论依据和实践指导。
3. 研究方法
本研究采用问卷调查和实地观察相结合的方法，通过对小学生和教师的调查和访谈，了解他们对小学奥数课程的认识和看法，分析其对学生数学思维能力的影响。
4. 研究内容
本研究将重点关注小学奥数课程对学生数学思维能力的影响，包括其在培养学生逻辑思维、创新思维和问题解决能力等方面的作用和意义，为今后的教学实践提供一些有效的参考和建议。
5. 研究结果
通过对小学奥数课程的`调查和分析，我们发现该课程能够有效地促进学生数学思维能力的发展，提高其在解决实际问题时的灵活性和创新性，为学生的综合素质提升起到了积极的作用。
6. 结论与展望
小学奥数课程对学生数学思维能力的影响是积极的，但在实践中仍存在一些问题和不足。今后需要进一步深入研究其影响机制和培养策略，不断优化课程内容和教学方法，为学生的数学思维能力提升提供更好的保障和支持。
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