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六年级奥数知识点之和差与倍数的应用题
上学期间，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点有时候特指教科书上或考试的知识。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家整理的六年级奥数知识点之和差与倍数的应用题，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
六年级奥数知识点之和差与倍数的应用题 1
一、和差问题
说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会！”和差问题的计算太简单了。是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：
大数=（和+差）÷2
小数=（和—差）÷2
会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算。
先看几个简单的例子。
例1张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分？
解：95乘以2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是8。因此
数学得分=（95×2+8）÷2=99。
语文得分=（95×2—8）÷2=91。
答：张明数学得99分，语文得91分。
注：也可以从95×2—99=91求出语文得分。
例2有A，B，C三个数，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求这三个数。
解：从B+C=197与A+C=149，就知道B与A的差是197—149，题目又告诉我们，B与A之和是252。因此
B=（252+197—149）÷2=150，A=252—150=102，C=149—102=47。
答：A，B，C三数分别是102，150，47。
注：还有一种更简单的方法
（A+B）+（B+C）+（C+A）=2×（A+B+C）。
上面式子说明，三数相加再除以2，就是三数之和。
A+B+C=（252+197+149）÷2=299。因此
C=299—252=47，B=299—149=150，A=299—197=102。
例3甲、乙两筐共装苹果75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克。甲、乙两筐原各有苹果多少千克？
解：画一张简单的示意图，就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多
5+7+5=17（千克）
因此，甲、乙两数之和是75，差为17。
甲筐苹果数=（75+17）÷2=46（千克）。
乙筐苹果数=75—46=29（千克）。
答：原来甲筐有苹果46千克，乙筐有苹果29千克。
例4张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子。外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱？
解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是270元，差是210元。
外衣和鞋价之和=（270+210）÷2=240（元）。
外衣价与鞋价之差是140，因此
鞋价=（240—140）÷2=50（元）。
答：买这双鞋花50元。
再举出三个较复杂的例子。如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了。
例5李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了。他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟。夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整。假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？
解：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的。就有
钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）。
晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时。这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了。
因此
钟停的时间—路上用的时间=120（分钟）。
现在已把问题转化成标准的和差问题了。
钟停的时间=（160+120）÷2=140（分钟）。
路上用的时间=160—140=20（分钟）。
答：李叔叔的钟停了2小时20分。
还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：
以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以
上班路上所用时间=（8小时50分钟—8小时—10分钟）÷2=20（分钟）。
钟停时间=2小时40分钟—20分钟
=2小时20分钟。
例6小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完。可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元。问小明买甲、乙卡各几张？
解：甲卡与乙卡每张相差1.5—0.7=0.8（元），售货员错找还小明3.2元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4（张）。
现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了。如何求呢？请注意
1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4。
1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4—3.2。
从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是
[21.4+（21.4—3.2）]÷（1.5+0.7）=18（张）。
因此，甲卡张数是
（18+4）÷2=11（张）。
乙卡张数是18—11=7（张）。
答：小明买甲卡11张、乙卡7张。
注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲。
例7有一些苹果和梨。如果按每1个苹果2个梨分堆，梨分完时还剩5个苹果，如果按每3个苹果5个梨分堆，苹果分完了还剩5个梨。问苹果和梨各多少？
解一：我们设想再有10个梨，与剩下5个苹果一起，按“1个苹果、2个梨”前一种分堆，都分完。以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看，苹果总数能被3整除。因此可以把前一种分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3个苹果，2×3=6（个）梨。与后一种分堆比较：
每堆苹果都是3个。而梨多1个（6—5=1）。梨的总数相差
设想增加10个+剩下5个=15个。
（10+5）÷（6—5）=15。
就知有15个大堆，苹果总数是
15×3=45（个）。
梨的总数是（45—5）×2=80（个）。
答：有苹果45个、梨80个。
解二：用图解法。
前一种分堆，在图上用梨2份，苹果1份多5个来表示。
后一种分堆，只要添上3个苹果，就可与剩的5个梨又组成一堆。梨算作5份，苹果恰好是3份。
将上、下两图对照比较，就可看出，5+3=8（个）是下图中“半份”，即1份是16。梨是5份，共有16×5=80（个）。苹果有16×2.5+5=45（个）。
二、倍数问题
当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数。小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型。先看几个基础性的例子。
例8有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个。那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍。
解：两堆棋子共有87+69=156（个）。
为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成1+3=4（份），即每份有棋子
156÷（1+3）=39（个）。
第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去。因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是
87—39=48（个）。
答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去。
例9有两层书架，共有书173本。从第一层拿走38本书后，第二层的书比第一层的`2倍还多6本。问第二层有多少本书？
解：我们画出下列示意图：
我们把第一层（拿走38本后）余下的书算作1“份”，那么第二层的书是2份还多6本。再去掉这6本，即
173—38—6=129（本）
恰好是3份，每一份是
129÷3=43（本）。
因此，第二层的书共有
43×2+6=92（本）。
答：书架的第二层有92本书。
说明：我们先设立“1份”，使计算有了很方便的计算单位。这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效。把份数表示在示意图上，更是一目了然。
例10某小学有学生975人。全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人。问全校有男、女生各多少人？
解：设六年级学生人数是“1份”。
男生是4份—23人。
女生是3份+11人。
全校是7份—（23—11）人。
每份是（975+12）÷7=141（人）。
男生人数=141×4—23=541（人）。
女生人数=975—541=434（人）。
答：有男生541人、女生434人。
例9与例10是一个类型的问题，但稍有差别。请读者想一想，“差别”在哪里？
70双皮鞋。此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍。问原来两种鞋各有几双？
解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作4份，售出1份，还有3份。那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6（份）.400+70将是3+1+6=10（份）。每份是
（400+70）÷10=47（双）。
原有旅游鞋47×4=188（双）。
原有皮鞋47×6—70=212（双）。
答：原有旅游鞋188双，皮鞋212双。
设整数的份数，使计算简单方便。小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷。因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中。
下面例子将是本节的主要内容──年龄问题。
年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数”这一条件。解年龄问题最关键的一点是：两个人的年龄差总保持不变。
例12父亲现年50岁，女儿现年14岁。问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍？
解：父女相差36岁，这个差是不变的。几年前还是相差36岁。当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁。这36岁是女儿年龄的（5—1）倍。
36÷（5—1）=9。
当时女儿是9岁，14—9=5，也就是5年前。
答：5年前，父亲年龄是女儿年龄的5倍。
例13有大、小两个水池，大水池里已有水300立方米。小水池里已有水70立方米。现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍。问每个水池注入了多少立方米的水。
解：画出下面示意图：
我们把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份。从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300—70）是2份。
因此每份是
（300—70）÷2=115（立方米）。
要注入的水量是
115—70=45（立方米）？
答：每个水池要注入45立方米的水。
例13与年龄问题是完全一样的问题。“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”。
例14今年哥俩的岁数加起来是55岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍。哥哥今年几岁？
解：当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时，我们设那时弟弟的岁数是1份，哥哥的岁数是2份，那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份。两人的岁数之差是不会变的，今年他们的年龄仍相差1份。
题目又告诉我们，那时哥哥岁数，与今年弟弟的岁数相同，因此今年弟弟的岁数也是2份，而哥哥今年的岁数应是2+1=3（份）。
今年，哥弟俩年龄之和是
3+2=5（份）。
每份是55÷5=11（岁）。
哥哥今年的岁数是11×3=33（岁）。
答：哥哥今年33岁。
作为本节最后一个例子，我们将年龄问题进行一点变化。
例15父年38岁，母年36岁，儿子年龄为11岁。
问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍？
解：现在父母年龄之和是
38+36=74。
现在儿子年龄的4倍是11×4=44。相差
74—44=30。
从4倍来考虑，以后每年长1×4=4，而父母年龄之和每年长1+1=2。
为追上相差的30，要
30÷（4—2）=15（年）？
答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍。
请读者用例15的解题思路，解习题二的第7题。也许就能完全掌握这一解题技巧了。
请读者想一想，例15的解法，与例12的解法，是否不一样？各有什么特点？
我们也可以用例15解法来解例12。具体做法有下面算式：
（14×5—50）÷（5—1）=5（年）。
不过要注意14×5比50多，因此是5年前。
三、盈不足问题
在我国古代的算书中，《九章算术》是内容最丰富多彩的一本。在它的第七章，讲了一类盈不足问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的例题。
例16有一些人共同买一些东西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物价是多少？
解：“多3元”与“少4元”两者相差
3+4=7（元）。
每个人要多出8—7=1（元）。
因此就知道，共有7÷1=7（人），物价是
8×7—3=53（元）。
答：共有7个人一起买，物价是53元。
上面的3+4可以说是两个总数的相差数。而8—7是每份的相差数。计算公式是
总数相差数÷每份相差数=份数
这样的问题在内容上有很多变化，形成了一类问题，我们通称为“盈不足”问题。请再看一些例子。
例17把一袋糖分给小朋友们，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3个小朋友分不到糖。这袋糖有多少粒？
解一：3位小朋友本来每人可以分到10粒，他们共有的10×3=30（粒），分给其余小朋友，每人就可以增加16—10=6（粒），因此其余小朋友有
10×3÷（16—10）=5（人）。
再加上这3位小朋友，共有小朋友5+3=8（人）。这袋糖有
10×（5+3）=80（粒）。
解二：如果我们再增加16×3粒糖，每人都可以增加（1—10）粒，因此共有小朋友
16×3÷（16—10）=8（人）？
这袋糖有80粒。
答：这袋糖有80粒。
这里，16×3是总差，（16—10）是每份差，8是份数。
例18有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐6人；如果减少一条船，每条船正好坐9人。这个班共有多少名同学？
解：如果每条船坐6人，就要增加一条船，也就是现在有6个人无船坐；如果每条船坐9人，可以减少一条船，也就是还可以多来9个人坐船。可以坐船的人数，两者相差6+9=15（人）。
这是由于每条船多坐（9—6）人产生的，因此共有船
（6+9）÷（9—6）=5（条）？
这个班的同学有6×5+6=36（人）。
答：这个班有36人。
例19小明从家去学校，如果每分钟走80米，能在上课前6分钟到校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，那么小明的家到学校的路程有多远？
解一：以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走80米，就可以多走80×6（米）；如果每分钟走50米，就要少走50×3（米）。请看如下示意图：
因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是
（80×6+50×3）÷（80—50）=21（分钟）。
家至学校距离是
800×（21—6）=1200（米）？
或50×（21+3）=1200（米）。
答：小明家到学校的路程是1200米。
解二：以每分钟80米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点。
用每分钟50米速度，就要多用6+3=9（分种）。这9分钟所走的50×9（米），恰好补上前面少走的。因此每分钟80米所需时间是
50×（6+3）÷（80—50）=15（分钟）？
再看两个稍复杂的例子。
例20一些桔子分给若干个人，每人5个还多余10个桔子。如果人数增加到3倍还少5个人，那么每人分2个桔子还缺少8个，问有桔子多少个？
解：使人感到困难的是条件“3倍还少5人”。先要转化这一条件。
假设还有10个桔子，10=2×5，就可以多有5个人，把“少5人”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍人数，也相当于按原人数每人给2×3=6（个）。
每人给5个与给6个，总数相差
10+10+8=28（个）。
所以原有人数28÷（6—5）=28（人）。
桔子总数是5×28+10=150（个）。
答：有桔子150个。
六年级奥数知识点之和差与倍数的应用题 2
1、比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等。缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起;每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面上共有12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块？
2、5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶？
3、现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的.苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？
答案解析
1、先算黑皮子共有多少条边：12×5=60条。这60条边都是与白皮子缝合在一起的，对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的，那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20，所以共有20块白皮子。
2、大致上可以这样想：先买161瓶汽水，喝完以后用这161个空瓶还可以换回32瓶（161÷5=32…1）汽水，然后再把这32瓶汽水退掉，这样一算，就发现实际上只需要买161—32=129瓶汽水。可以检验一下：先买129瓶，喝完后用其中125个空瓶（还剩4个空瓶）去换25瓶汽水，喝完后用25个空瓶可以换5瓶汽水，再喝完后用5个空瓶去换1瓶汽水，最后用这个空瓶和最开始剩下的4个空瓶去再换一瓶汽水，这样总共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水。
3、从第一个条件开始：从每堆苹果中各取出一个，在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍，这时假设第二堆是1份苹果，那么第一堆就是3份苹果，差2份苹果。再看第二个条件：从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍，因为是从每堆苹果中各取出同样多个，所以第二堆还是比第一堆少2份苹果，所以这个2份应该比34个要少（大家自己考虑一下为什么不能相等？）所以一份最多就16个，于是在第二个条件时，第二堆还有34—16×2=2个，第三堆还有2÷2=1个，所以回到第一个条件时，第二堆应该是1份16个苹果，第三堆少一个是15个，第一堆是3份共16×3=48个苹果，所以在最开始分别有49，17，16个，总共有49+17+16=82个。
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